Произведение дробей (Умножение дробей): полное руководство
Умножение дробей — одна из самых простых операций с дробными числами. В отличие от сложения и вычитания, здесь не требуется находить общий знаменатель. В этой статье мы подробно разберём:
- основное правило умножения дробей,
- умножение смешанных чисел,
- сокращение дробей перед умножением,
- особые случаи и практические примеры.
1. Основное правило умножения дробей
Чтобы умножить две дроби, нужно:
- Умножить числители
- Умножить знаменатели
- При необходимости сократить полученную дробь
\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]
Пример 1:
\[ \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \]
\[ \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \]
Пример 2:
\[ \frac{3}{7} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{63} = \frac{2}{21} \]
\[ \frac{3}{7} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{63} = \frac{2}{21} \]
(сократили на 3)
Совет: Всегда проверяйте, можно ли сократить дроби до умножения — это упростит вычисления!
2. Умножение смешанных дробей
Для умножения смешанных чисел:
- Преобразуйте смешанные дроби в неправильные
- Умножьте по стандартному правилу
- При необходимости преобразуйте обратно в смешанную дробь
Пример:
\[ 2\frac{1}{3} \times 1\frac{1}{2} \]
\[ 2\frac{1}{3} \times 1\frac{1}{2} \]
Решение:
Переводим в неправильные дроби:
\[ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}, \quad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
\[ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}, \quad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
Умножаем:
\[ \frac{7}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{21}{6} \]
\[ \frac{7}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{21}{6} \]
Сокращаем и преобразуем:
\[ \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} \]
\[ \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} \]
3. Сокращение дробей перед умножением
Можно сокращать дроби до умножения, если числитель одной дроби и знаменатель другой имеют общие множители.
Пример с сокращением:
\[ \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \]
\[ \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \]
Решение с сокращением:
Замечаем, что 3 и 9 делятся на 3, а 8 и 4 — на 4
Сокращаем:
\[ \frac{3^{\div 3}}{4} \times \frac{8}{9^{\div 3}} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{1}{4^{\div 4}} \times \frac{8^{\div 4}}{3} = \frac{1}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \]
\[ \frac{3^{\div 3}}{4} \times \frac{8}{9^{\div 3}} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{1}{4^{\div 4}} \times \frac{8^{\div 4}}{3} = \frac{1}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \]
Метод “крест-накрест”: Можно сокращать числитель одной дроби со знаменателем другой:
3/4 × 8/9 = 1/1 × 2/3 = 2/3
3/4 × 8/9 = 1/1 × 2/3 = 2/3
4. Особые случаи умножения дробей
Умножение дроби на целое число:
\[ \frac{2}{5} \times 3 = \frac{2}{5} \times \frac{3}{1} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} \]
\[ \frac{2}{5} \times 3 = \frac{2}{5} \times \frac{3}{1} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} \]
Умножение дроби на единицу:
\[ \frac{3}{7} \times 1 = \frac{3}{7} \]
\[ \frac{3}{7} \times 1 = \frac{3}{7} \]
Умножение дроби на ноль:
\[ \frac{4}{9} \times 0 = 0 \]
\[ \frac{4}{9} \times 0 = 0 \]
Умножение нескольких дробей:
\[ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 2}{2 \times 3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{6} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{6 \times 4} = \frac{6}{24} = \frac{6^{\div 6}}{24^{\div 6}} = \frac{1}{4} \]
\[ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 2}{2 \times 3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{6} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{6 \times 4} = \frac{6}{24} = \frac{6^{\div 6}}{24^{\div 6}} = \frac{1}{4} \]
5. Практическое применение
Задача 1: Рецепт требует 3/4 стакана муки. Сколько нужно муки для 2/3 рецепта?
Решение: \[ \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} = \frac{6^{\div 6}}{12^{\div 6}} = \frac{1}{2} \] стакана
Решение: \[ \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} = \frac{6^{\div 6}}{12^{\div 6}} = \frac{1}{2} \] стакана
Задача 2: Прямоугольник имеет длину 1 1/2 м и ширину 3/4 м. Найдите его площадь.
Решение:
\[ 1\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} \text{ м}^2 \]
Решение:
\[ 1\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} \text{ м}^2 \]
Вывод
Основные правила умножения дробей:
✅ Числитель × числитель, знаменатель × знаменатель
✅ Смешанные числа сначала преобразуйте в неправильные дроби
✅ Сокращайте дроби до умножения для упрощения вычислений
✅ Проверяйте результат — возможно, его можно сократить
Умножение дробей — простая операция, если понять основной принцип! ✖️
Полезен ли материал?
2 / 0
