Частное дробей (Деление дробей): полное руководство
Деление дробей — операция, которая часто вызывает вопросы, но на самом деле она проще, чем кажется. В этой статье мы подробно разберём:
- основное правило деления дробей,
- понятие обратной дроби,
- деление смешанных чисел,
- практические примеры и задачи.
1. Основное правило деления дробей
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно:
- Первая дробь остаётся без изменений
- Знак деления заменяется на умножение
- Вторая дробь заменяется на обратную
- Выполняется умножение
\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]
Пример 1:
\[ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} \]
\[ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} \]
Пример 2:
\[ \frac{5}{6} \div \frac{3}{8} = \frac{5}{6} \times \frac{8}{3} = \frac{40}{18} = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9} \]
\[ \frac{5}{6} \div \frac{3}{8} = \frac{5}{6} \times \frac{8}{3} = \frac{40}{18} = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9} \]
Помните: Деление дробей можно представить как умножение на обратную дробь!
2. Что такое обратная дробь?
Обратная дробь получается путём переворачивания исходной дроби — числитель становится знаменателем, а знаменатель — числителем.
\[ \text{Обратная дробь для } \frac{a}{b} \text{ — это } \frac{b}{a} \]
Примеры обратных дробей:
\[ \frac{2}{3} \rightarrow \frac{3}{2} \] \[ \frac{5}{7} \rightarrow \frac{7}{5} \] \[ 3 \text{ (это } \frac{3}{1}) \rightarrow \frac{1}{3} \]
\[ \frac{2}{3} \rightarrow \frac{3}{2} \] \[ \frac{5}{7} \rightarrow \frac{7}{5} \] \[ 3 \text{ (это } \frac{3}{1}) \rightarrow \frac{1}{3} \]
3. Деление смешанных дробей
Для деления смешанных чисел:
- Преобразуйте смешанные дроби в неправильные
- Разделите по правилу деления дробей
- При необходимости преобразуйте обратно в смешанную дробь
Пример:
\[ 2\frac{1}{2} \div 1\frac{1}{4} \]
\[ 2\frac{1}{2} \div 1\frac{1}{4} \]
Решение:
Переводим в неправильные дроби:
\[ 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}, \quad 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4} \]
\[ 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}, \quad 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4} \]
Деление заменяем умножением на обратную дробь:
\[ \frac{5}{2} \div \frac{5}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{4}{5} \]
\[ \frac{5}{2} \div \frac{5}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{4}{5} \]
Умножаем и сокращаем:
\[ \frac{\cancel{5}}{2} \times \frac{4}{\cancel{5}} = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ \frac{\cancel{5}}{2} \times \frac{4}{\cancel{5}} = \frac{4}{2} = 2 \]
4. Особые случаи деления дробей
Деление дроби на целое число:
\[ \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \]
\[ \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \]
Деление целого числа на дробь:
\[ 3 \div \frac{2}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} \]
\[ 3 \div \frac{2}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} \]
Деление дроби на единицу:
\[ \frac{5}{8} \div 1 = \frac{5}{8} \]
\[ \frac{5}{8} \div 1 = \frac{5}{8} \]
Деление дроби на саму себя:
\[ \frac{3}{7} \div \frac{3}{7} = 1 \]
\[ \frac{3}{7} \div \frac{3}{7} = 1 \]
5. Практическое применение
Задача 1: Как разделить 3/4 кг конфет поровну между 5 детьми?
Решение: \[ \frac{3}{4} \div 5 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20} \text{ кг каждому} \]
Решение: \[ \frac{3}{4} \div 5 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20} \text{ кг каждому} \]
Задача 2: Сколько бутылок по 3/4 литра можно наполнить из 6-литровой канистры?
Решение:
\[ 6 \div \frac{3}{4} = \frac{6}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ бутылок} \]
Решение:
\[ 6 \div \frac{3}{4} = \frac{6}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ бутылок} \]
Вывод
Основные правила деления дробей:
✅ “Переверни и умножь” — главное правило
✅ Смешанные числа сначала преобразуйте в неправильные дроби
✅ Обратная дробь — ключ к пониманию деления
✅ Проверяйте результат — возможно, дробь можно сократить
Освоив эти правила, вы сможете легко делить любые дроби! ➗
Полезен ли материал?
1 / 0
