Все операции с дробями: сложение, вычитание, умножение и деление
Дроби — важная часть математики, и понимание операций с ними необходимо для успешного обучения. В этой статье мы подробно разберём все четыре основные операции с дробями, их правила и особенности.
Сравнение операций с дробями
| Операция | Основное правило | Общий знаменатель | Пример |
|---|---|---|---|
| Сложение | Числители складываются | Требуется | $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ |
| Вычитание | Числители вычитаются | Требуется | $\frac{3}{4} – \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ |
| Умножение | Числитель × числитель, знаменатель × знаменатель | Не требуется | $\frac{2}{3} × \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ |
| Деление | Умножение на обратную дробь | Не требуется | $\frac{3}{4} ÷ \frac{2}{5} = \frac{15}{8}$ |
Сложение дробей
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, сложите их числители, а знаменатель оставьте без изменений.
\[ \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \]
Если знаменатели разные, сначала приведите дроби к общему знаменателю:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \]
Вычитание дробей
Вычитание дробей выполняется аналогично сложению, но числители вычитаются.
\[ \frac{7}{8} – \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
Для дробей с разными знаменателями:
\[ \frac{3}{4} – \frac{1}{2} = \frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \]
Умножение дробей
При умножении дробей перемножьте числители и знаменатели отдельно.
\[ \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
\[ \frac{\cancel{2}}{3} \times \frac{3}{\cancel{4}} = \frac{1}{1} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Деление дробей
Чтобы разделить одну дробь на другую, умножьте первую дробь на обратную второй.
\[ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} \]
\[ \text{Обратная для } \frac{2}{5} \text{ — } \frac{5}{2} \]
Работа со смешанными числами
Для всех операций со смешанными числами (целая часть + дробь):
- Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби
- Выполните операцию по соответствующим правилам
- При необходимости преобразуйте результат обратно в смешанное число
\[ 2\frac{1}{2} \times 1\frac{1}{3} = \frac{5}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{6} = 3\frac{2}{6} = 3\frac{1}{3} \]
Ключевые правила работы с дробями
✅ Сложение/вычитание: одинаковые знаменатели → действия с числителями
✅ Умножение: числитель × числитель, знаменатель × знаменатель
✅ Деление: умножение на обратную дробь
✅ Смешанные числа: сначала в неправильные дроби
✅ Результат: всегда сокращайте, если возможно
Освоив эти правила, вы сможете уверенно выполнять все операции с дробями! 🎯
Полезен ли материал?
1 / 0
