Разность дробей (Вычитание дробей): подробное руководство с примерами
Вычитание дробей — важная математическая операция, которая требует понимания основных правил работы с дробными числами. В этой статье мы рассмотрим:
- правила вычитания дробей с одинаковыми знаменателями,
- вычитание дробей с разными знаменателями,
- примеры с подробными решениями,
- особенности вычитания смешанных дробей.
1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Когда у дробей одинаковые знаменатели, вычитание выполняется просто: вычитаем числители, а знаменатель сохраняем без изменений.
\[ \frac{a}{c} – \frac{b}{c} = \frac{a – b}{c} \]
Пример:
\[ \frac{5}{7} – \frac{2}{7} = \frac{5 – 2}{7} = \frac{3}{7} \]
\[ \frac{5}{7} – \frac{2}{7} = \frac{5 – 2}{7} = \frac{3}{7} \]
Важно! Если при вычитании получается отрицательное значение, дробь сохраняет свой знак:
\[ \frac{2}{5} – \frac{3}{5} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5} \]
\[ \frac{2}{5} – \frac{3}{5} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5} \]
2. Вычитание дробей с разными знаменателями
Если знаменатели разные, необходимо:
- Найти общий знаменатель (НОЗ)
- Привести дроби к общему знаменателю
- Вычесть числители, сохранив знаменатель
\[ \frac{a}{b} – \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d – c \cdot b}{b \cdot d} \]
Пример 1:
\[ \frac{3}{4} – \frac{1}{2} = \frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \]
\[ \frac{3}{4} – \frac{1}{2} = \frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \]
Пошаговое решение:
Находим общий знаменатель для 4 и 2 — это 4.
Приводим \(\frac{1}{2}\) к знаменателю 4:
\[ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} \]
\[ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} \]
Вычитаем:
\[ \frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \]
\[ \frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \]
Пример 2:
\[ \frac{7}{8} – \frac{2}{3} = \frac{21}{24} – \frac{16}{24} = \frac{5}{24} \]
\[ \frac{7}{8} – \frac{2}{3} = \frac{21}{24} – \frac{16}{24} = \frac{5}{24} \]
3. Вычитание смешанных дробей
При работе со смешанными числами (целая часть + дробь):
- Переводим в неправильные дроби
- Вычитаем по стандартным правилам
- При необходимости возвращаем в смешанный вид
Пример 1:
\[ 2\frac{3}{4} – 1\frac{1}{2} \]
\[ 2\frac{3}{4} – 1\frac{1}{2} \]
Решение:
Переводим в неправильные дроби:
\[ 2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}, \quad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
\[ 2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}, \quad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
Находим общий знаменатель (4):
\[ \frac{3}{2} = \frac{6}{4} \]
\[ \frac{3}{2} = \frac{6}{4} \]
Вычитаем:
\[ \frac{11}{4} – \frac{6}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \]
\[ \frac{11}{4} – \frac{6}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \]
Пример 2 (с заимствованием):
\[ 3\frac{1}{4} – 1\frac{3}{4} \]
\[ 3\frac{1}{4} – 1\frac{3}{4} \]
Решение:
Переводим в неправильные дроби:
\[ 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}, \quad 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} \]
\[ 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}, \quad 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} \]
Вычитаем:
\[ \frac{13}{4} – \frac{7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \]
\[ \frac{13}{4} – \frac{7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \]
4. Особые случаи вычитания дробей
Случай 1: Вычитание из единицы
\[ 1 – \frac{3}{5} = \frac{5}{5} – \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \]
\[ 1 – \frac{3}{5} = \frac{5}{5} – \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \]
Случай 2: Вычитание целого числа из дроби
\[ \frac{7}{3} – 2 = \frac{7}{3} – \frac{6}{3} = \frac{1}{3} \]
\[ \frac{7}{3} – 2 = \frac{7}{3} – \frac{6}{3} = \frac{1}{3} \]
Случай 3: Последовательное вычитание
\[ \frac{5}{6} – \frac{1}{3} – \frac{1}{6} = \frac{5}{6} – \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
\[ \frac{5}{6} – \frac{1}{3} – \frac{1}{6} = \frac{5}{6} – \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Вывод
Чтобы правильно вычитать дроби:
✅ При одинаковых знаменателях — вычитаем числители
✅ При разных знаменателях — приводим к общему знаменателю
✅ Для смешанных чисел — переводим в неправильные дроби
✅ Не забываем сокращать результаты при возможности
Освоив эти правила, вы сможете уверенно выполнять вычитание любых дробей! 🔢
Полезен ли материал?
1 / 0
