Сумма дробей (Сложение дробей): подробное руководство с примерами

Сложение дробей — одна из основных операций в математике, которая часто встречается в школьной программе и повседневных вычислениях. В этой статье мы разберём:

основные правила сложения дробей,
разные случаи (с одинаковыми и разными знаменателями),
примеры с пошаговыми решениями,
сокращение дробей и приведение к общему знаменателю.

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Если у дробей одинаковые знаменатели, то сложить их очень просто: складываем числители, а знаменатель оставляем без изменений.

\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} \]

Пример:
\[ \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{2 + 3}{5} = \frac{5}{5} = 1 \]

2. Сложение дробей с разными знаменателями

Если знаменатели разные, перед сложением нужно:

Найти общий знаменатель (обычно наименьший общий знаменатель — НОЗ).
Привести дроби к общему знаменателю.
Сложить числители, знаменатель остаётся прежним.

\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} \]

Пример 1:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1 \cdot 2}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 2}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Пошаговое решение:

Находим общий знаменатель для 2 и 4 — это 4.

Приводим \(\frac{1}{2}\) к знаменателю 4:
\[ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} \]

Теперь складываем:
\[ \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Пример 2 (с большими числами):
\[ \frac{3}{8} + \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 5 \cdot 8}{8 \cdot 6} = \frac{18 + 40}{48} = \frac{58}{48} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24} \]

Пошаговое решение:

Находим НОЗ для 8 и 6 — это 24.

Приводим дроби:
\[ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}, \quad \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24} \]

Складываем:
\[ \frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24} \]

3. Сложение смешанных дробей

Если даны смешанные числа (целая часть + дробь), то:

Переводим их в неправильные дроби.
Складываем по правилам выше.
При необходимости возвращаем в смешанный вид.

Пример:
\[ 2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{2} = \left(2 + \frac{1}{3}\right) + \left(1 + \frac{1}{2}\right) \]

Решение:

Переводим в неправильные дроби:
\[ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}, \quad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]

Находим общий знаменатель (6):
\[ \frac{7}{3} = \frac{14}{6}, \quad \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \]

Складываем:
\[ \frac{14}{6} + \frac{9}{6} = \frac{23}{6} = 3\frac{5}{6} \]

4. Сокращение дробей после сложения

Иногда после сложения дробь можно сократить (разделить числитель и знаменатель на их НОД).

Примеры:
\[ \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \quad (\text{несократимая дробь}) \] \[ \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9} \quad (\text{несократимая}) \] \[ \frac{2}{8} + \frac{4}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \quad (\text{сократили на 2}) \]

Вывод

Чтобы сложить дроби:

✅ Если знаменатели одинаковые → складываем числители.

✅ Если знаменатели разные → приводим к общему знаменателю, затем складываем.

✅ Если даны смешанные числа → переводим в неправильные дроби, складываем, при необходимости сокращаем.

Теперь вы знаете, как правильно складывать дроби! 🚀

Полезен ли материал?

1 / 0

#Калькуляторы #Математика

Калькуляторы

Конвертеры