Метод Якоби

Собственные значения и собственные векторы с использованием метода Якоби

Метод Якоби (или метод вращений) – это численный метод для нахождения собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы. Он заключается в последовательном применении вращений, чтобы привести матрицу к диагональному виду, при этом собственные значения находятся на диагонали, а собственные векторы представляют собой столбцы матрицы поворотов. В этой статье мы рассмотрим алгоритм метода Якоби для вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы.

Алгоритм метода Якоби

1. Начально задать симметричную матрицу A и точность epsilon.

2. Создать единичную матрицу J размера n x n, где n – размерность матрицы A.

3. Пока максимальный внедиагональный элемент матрицы A (не считая диагонали) больше epsilon, выполнять следующее:

  • a. Найти максимальный внедиагональный элемент a[i][j] (|a[i][j]| > epsilon).
  • b. Вычислить угол phi = 0.5 * atan(2 * a[i][j] / (a[i][i] – a[j][j])).
  • c. Создать матрицу вращения P размера n x n, где P[i][i] = P[j][j] = cos(phi), P[i][j] = -sin(phi), P[j][i] = sin(phi), и P[k][l] = 0 для всех остальных k и l.
  • d. Обновить матрицу A: A = P^T * A * P и матрицу J: J = J * P.

4. После сходимости, диагональные элементы матрицы A будут приближенными собственными значениями матрицы, а столбцы матрицы J будут приближенными собственными векторами.

Пример вычисления собственных значений и собственных векторов

Давайте рассмотрим пример вычисления собственных значений и собственных векторов для следующей симметричной матрицы A:

        A = | 4  -2   2 |
            | -2  5   0 |
            | 2   0   6 |

Шаги метода Якоби:

1. Начальная матрица A:

        A = | 4  -2   2 |
            | -2  5   0 |
            | 2   0   6 |

2. Единичная матрица J:

        J = | 1  0  0 |
            | 0  1  0 |
            | 0  0  1 |

3. Максимальный внедиагональный элемент a[0][1] = -2 (приближенно). Найдем угол phi = 0.5 * atan(2 * a[0][1] / (a[0][0] – a[1][1])) ≈ -0.588.

4. Матрица вращения P:

        P = | 0.81  -0.59   0   |
            | 0.59   0.81   0   |
            | 0      0      1   |

5. Обновленная матрица A: A = P^T * A * P:

        A = | 6  0  0 |
            | 0  3  0 |
            | 0  0  6 |

6. Обновленная матрица J: J = J * P:

        J = | 0.81  -0.59  0   |
            | 0.59   0.81  0   |
            | 0      0     1   |

7. Повторяем шаги 3-6 до сходимости (внедиагональные элементы меньше epsilon).

8. Полученные диагональные элементы матрицы A: 6, 3 и 6 являются приближенными собственными значениями матрицы A.

9. Столбцы матрицы J: [0.81, 0.59, 0], [-0.59, 0.81, 0], [0, 0, 1] являются приближенными собственными векторами матрицы A.

Заключение

Метод Якоби представляет мощный численный алгоритм для вычисления всех собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы. Этот метод основан на последовательном применении вращающих преобразований, что делает его эффективным и точным для нахождения собственных значений и собственных векторов. Метод Якоби находит широкое применение в различных областях науки и инженерии, где требуется анализ данных, решение систем линейных уравнений и оптимизация.

Полезен ли материал?

6 / 9