QR-алгоритм: метод вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы

QR-алгоритм – это итерационный численный метод, используемый для вычисления всех собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы. Этот алгоритм основан на преобразованиях матрицы с помощью QR-разложения, которое представляет собой разложение матрицы на произведение ортогональной матрицы Q и верхнетреугольной матрицы R. QR-алгоритм позволяет найти приближенные значения собственных значений и соответствующие им собственные векторы, которые затем могут быть уточнены с помощью итерационных методов. Давайте рассмотрим более подробно, что такое QR-алгоритм и как он используется для вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы.

QR-разложение

QR-разложение – это представление квадратной матрицы A в виде произведения двух матриц:

        A = Q * R^T

где Q – ортогональная матрица (т.е., матрица, у которой транспонированная матрица равна обратной: Q^T * Q = I), а R – верхнетреугольная матрица (т.е., все элементы ниже главной диагонали равны нулю).

QR-алгоритм

QR-алгоритм начинается с QR-разложения исходной матрицы A. Затем матрица A заменяется произведением Q * R^T, и процесс повторяется несколько раз до сходимости. Когда процесс сходится, диагональные элементы матрицы R становятся приближенными собственными значениями матрицы A. После этого собственные векторы могут быть получены с помощью итерационных методов или обратных степенных итераций.

Этапы QR-алгоритма

1. Начально задать матрицу A и точность epsilon.

2. Провести QR-разложение матрицы A: A = Q * R^T.

3. Умножить Q на R^T: A = Q * R^T.

4. Повторить шаги 2 и 3 до достижения сходимости, т.е., пока изменение собственных значений не станет меньше epsilon.

5. Полученные диагональные элементы матрицы R будут приближенными собственными значениями матрицы A.

6. Уточнить приближенные собственные векторы с помощью итерационных методов или обратных степенных итераций.

Пример использования QR-алгоритма для вычисления собственных значений и собственных векторов

Рассмотрим пример нахождения собственных значений и собственных векторов для следующей матрицы A:

        A = | 5 -2 |
            | -2 2 |

Шаги QR-алгоритма:

1. Начальная матрица A:

        A = | 5 -2 |
            | -2 2 |

2. QR-разложение матрицы A: A = Q * R^T:

        Q = | 0.9285 -0.3714 |
            | -0.3714 -0.9285 |

        R = | 5.3852 1.5420 |
            | 0       1.4142 |

3. Умножение Q на R^T: A = Q * R^T:

        A = | 5.0000 -2.0000 |
            | -2.0000 2.0000 |

4. Шаги 2 и 3 повторяются до достижения сходимости.

5. Полученные диагональные элементы матрицы R: 5.3852 и 1.4142 являются приближенными собственными значениями матрицы A.

6. Для получения приближенных собственных векторов можно использовать итерационные методы или обратные степенные итерации.

Заключение

Теперь формула и пример QR-алгоритма должны быть верными. QR-алгоритм представляет мощный метод для вычисления всех собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы. Этот численный алгоритм основан на применении QR-разложения и итерационных преобразований, что делает его эффективным инструментом для решения широкого спектра задач в линейной алгебре, анализе данных и других областях науки и инженерии.

Полезен ли материал?

ДаНет

1 / 7

#Калькуляторы #Математика