Трапеция: свойства и формулы

Определение трапеции

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны и называются основаниями, а две другие стороны называются боковыми сторонами. Основания трапеции могут быть разной длины, их длины обозначим как a и b, а длины боковых сторон обозначим как c и d. Также трапеция имеет две диагонали, которые пересекаются в точке O.

Свойства трапеции

• Две боковые стороны трапеции равны по длине.
  c = d
• Углы при основаниях трапеции суммируются до 180°.
  α + β = 180°
• Углы между боковыми сторонами и диагоналями трапеции равны.
  α = δ
  β = γ
• Сумма углов внутри трапеции равна 360°.
  α + β + γ + δ = 360°
• Диагонали трапеции делятся пополам в точке пересечения.
  TO = OQ
  TQ = OR

Формулы площади трапеции

1. Площадь через основания и высоту

S = 1/2 * (a + b) * h

где a и b – основания трапеции, а h – высота, проведенная к основанию.

2. Площадь через среднюю линию и высоту

S = m * h

где m – средняя линия трапеции, а h – высота трапеции.

3. Площадь через диагонали и среднюю линию

S = sqrt(p(p – d₁)(p – d₂)(p – 2m))

p = (d₁ + d₂ + 2m)/2

где d₁ и d₂ – диагонали трапеции, m – средняя линия трапеции.

4. Площадь через 4 стороны

S = (a + b)/2 * sqrt(c² – (((a – b)² + c² – d²)/(2(a – b)))²)

где a, b, c и d – стороны трапеции.

5. Площадь через диагонали и угол между ними

S = (d₁ * d₂)/2 * sin(α)

S = (d₁ * d₂)/2 * sin(β)

где d₁ и d₂ – диагонали трапеции, α или β – угол между диагоналями трапеции.

6. Площадь через основания и углы при основании

S = (b² – a²)/2 * (sin(α) * sin(β))/(sin(α + β))

где a и b – основания трапеции, α или β – прилежащие к основанию трапеции углы.

7. Площадь через площади треугольников

S = (sqrt(S₁) + sqrt(S₂))²

где S₁ и S₂ – площади образованных пересечением диагоналей трапеции треугольников.

8. Площадь через диагонали и высоту

S = (sqrt(d₂² – h²) + sqrt(d₁² – h²))/2 * h

где d₁ и d₂ – диагонали трапеции, h – высота трапеции.

9. Площадь через радиус вписанной окружности и основания

S = (a + b) * r

где a и b – основания трапеции, r – радиус вписанной в трапецию окружности.

10. Площадь через перпендикулярные диагонали

S = 1/2 * d₁ * d₂

где d₁ и d₂ – перпендикулярные диагонали трапеции.

Заключение

Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Её свойства и формулы площади могут быть полезны для решения различных задач, связанных с этой геометрической фигурой. Надеюсь, данная статья помогла вам лучше понять трапецию и её характеристики.

Полезен ли материал?

ДаНет

5 / 3

#Калькуляторы #Математика #Площадь